De straal waarbij het elektron zich omheen de kern beweegt is niet willekeurig, maar gekwantiseerd.

Die kwantiseringsvoorwaarde is echter een onbewezen postulaat dat de stabiliteit van het Rutherford-atoom en de oorsprong van de spectraallijnen kan verklaren.

Het model moet voortdurend aan nieuwe experimentele gegevens aangepast worden. Bovendien, en dat is nog veel erger, er is geen enkele verklaring voor het postulaat van N. Bohr. Een postulaat is geen wetenschap.

Maar het werkt wel. Een beetje toch. Het lijkt dat we al een beetje op de goede weg zitten. Maar we zijn er nog lang niet.

In de klassieke fysica voor 1900 is licht een elektromagnetische golf. Het vertoont alle kenmerken van een golf: de energie ervan hangt af van de intensiteit van de golf. Als ze samen komen, ondergaan golven van dezelfde golflengte interferentie.

Om de straling van een gloeiend voorwerp te verklaren moet M. Planck in 1900 aannemen dat elektromagnetische straling energie opneemt of afgeeft in pakjes of kwanta. Dan blijkt in 1902 dat de energie van licht afhangt van de frequentie. Licht heeft ook deeltjeseigenschappen beweert Albert Einstein (1879 – 1955). Na 1915 staat dit zo goed als vast. A. Einstein krijgt er in 1921 de Nobelprijs voor.

Een elektron dat zich voor een deel ‘normaal’ gedraagt en voor een ander deel niet. En een golf met deeltjeseigenschappen. Materie lijkt wel een dubbel, een dualistisch karakter te hebben. Hoe kan dat nu?

In 1921 is dat nog erg onduidelijk. De kaart van de kwantumwereld vertoont nog erg veel witte vlekken. Maar er zijn grote doorbraken op komst!

Als nieuwkomer kan Louis de Broglie gemakkelijker vrij denken en hij komt met een wilde maar opmerkelijke intuïtie:

“Als licht zowel deeltjes- als golfeigenschappen kan hebben, dan kunnen deeltjes misschien ook golfeigenschappen hebben. Hierdoor zou het merkwaardig gedrag van het elektron misschien kunnen verklaard worden. Het elektron is immers een ‘raar’ deeltje. Ik verwacht er dan ook ‘rare’ eigenschappen van.Het is bovendien in overeenstemming met het onder fysici wijdverspreide geloof in de symmetrie van de natuur.”

Er is nog een reden waarom L. de Broglie gelooft in het golfkarakter van het elektron.

In het model van Niels Bohr (1885 – 1962) hangt de energie van een elektron af van de waarde van een natuurlijk getal n (1,2,3,…):

In de klassieke fysica hangen alleen golfverschijnselen zoals interferentie af van een natuurlijk getal n (n = 1,2,3,…).

De golven versterken elkaar als hun wegverschil gelijk is aan nλ.
De golven verzwakken elkaar als hun wegverschil gelijk is aan (n+0,5)λ.

Zou die n in de formule van N. Bohr geen hint kunnen zijn naar het golfkarakter van een elektron, vraagt Louis zich af.

>> Interactieve simulatie

Op de Solvayraad van 1921 staat het atoommodel van N. Bohr op het programma. Maurice de Broglie is er verslaggever en brengt ook aan zijn broer Louis verslag uit. Dat zet Louis aan het denken.

Hij bouwt verder op zijn intuïtie en komt in 1923 tot een opmerkelijk besluit:

EEN ELEKTRON HEEFT EEN GOLFLENGTE EN IK KAN DIE BEREKENEN!

Zijn redenering in een notendop:

Een foton heeft geen (rust)massa. Maar het kan wel een elektron losslaan uit een metaal.

Het moet dus een impuls p hebben. A. Einstein vindt in 1917 voor de grootte van deze impuls:

Dit wordt bevestigd door Arthur Compton in 1922.

Een elektron heeft een impuls mv. Als een elektron een golfkarakter zou hebben, dan geldt voor de grootte ervan wellicht ook dezelfde betrekking als voor het foton.

Hij komt dan tot het volgende resultaat:

of

waar λ de golflengte is van het elektron.

In de vergelijking \(\lambda = \frac{h}{mv}\) komen de kenmerkende eigenschappen van een golf (λ) en van een deeltje (m) samen. Het kwantumaspect zit in h.

Deze formule wordt de derde belangrijke wet van de kwantumwereld. In 1923 is dat nog een postulaat. Een bewering die nog door een experiment bewezen moet worden. Die bewering was een intuïtie, een vermoeden dat uit een intuïtie ontstaan is, net zoals de kwanta van Max Planck (1858 – 1947) en de kwantumvoorwaarde van N. Bohr.

Zo gaat wetenschap vooruit. Een intuïtie is een vermoeden, dat vermoeden wordt verbonden met wetenschappelijke feiten en leidt tot een conclusie.
Die conclusie is een te bewijzen postulaat. Als dat postulaat experimenteel ondersteund wordt, zal het een wetenschappelijk feit worden. Dat feit kan dan door een experiment onderuitgehaald worden. En de cyclus start opnieuw.

In 1925 legt Louis de Broglie zijn doctoraatsthesis neer. De jury is verbijsterd. Een deeltje met een golflengte!! Ze vraagt Albert Einstein (1879 – 1955) om zijn advies. Deze schrijft naar de juryvoorzitter Paul Langevin (1872 – 1946): “de Broglie heeft een grote indruk op mij gemaakt. Hij heeft een tipje van de sluier opgelicht.”
L. de Broglie krijgt zijn doctoraat en in 1929 de Nobelprijs fysica voor zijn ontdekking van het golfkarakter van het elektron.

De wet van L. de Broglie houdt in dat elk deeltje met massa m en snelheid v een golflengte λ heeft.

Geldt dat dan ook voor basketballen? Die hebben volgens L. de Broglie toch ook een golflengte? Waarom zien we dan geen interferentiepatroon met een basketbal?

Dat komt omdat de golflengte die verbonden is aan een bewegende basketbal onwaarneembaar klein is. We rekenen dat even na.

GOLFLENGTE VAN EEN BASKETBAL, GEWORPEN MET EEN SNELHEID VAN 40 m/s

Massa: 0,600 kg

λ = 10^-34 m

Golflengte is 10²⁴  keer kleiner dan de diameter van een waterstofatoom. De afstand tussen twee opeenvolgende maxima bij een interferentie-experiment met basketballen is ongeveer 10^-34 m. Dit is veel kleiner dan wat detecteerbaar is.

In de periode 1923 – 1927 voeren Clinton Davisson (1881 – 1958) en Lester Germer (1896 – 1971), twee onderzoekers aan Western Electric (later Bell Labs) in de VS, experimenten uit die de interferentie bij elektronen aantonen. Vergelijkbare experimenten werden in Cambridge (UK) uitgevoerd door George Paget Thomson (1892 – 1961), zoon van John J. Thomson, die hetzelfde resultaat opleverden. L. de Broglie heeft zijn Nobelprijs in 1929 verdiend.

G.P. Thomson en C. Davisson krijgen er in 1937 de Nobelprijs fysica voor.

De elektronenmicroscoop werd de eerste belangrijke toepassing van de ontdekking van het golfkarakter van het elektron door L. de Broglie. Hij werd in 1931 uitgevonden door de Duitser Ernst Ruska en het bedrijf Siemens AG bracht hem op de markt in 1939.

Een voorwerp is nog detecteerbaar door een microscoop als de golflengte van dezelfde grootteorde is als het voorwerp. Terwijl een gewone lichtmicroscoop tot 1500 keer kan vergroten, kan een elektronenmicroscoop door de veel kleinere golflengte van de elektronen tot 10 miljoen keer vergroten. Hierdoor is hij uiterst geschikt om bijvoorbeeld de structuur van cellen te onderzoeken.

De golflengte van een elektron hangt af van zijn snelheid. In een elektronenmicroscoop worden de elektronen versneld van quasi 0 m/s tot ongeveer 10⁶ m/s.

Hun golflengte bedraagt dan 10^-9 m of 1 nm, 10 keer de diameter van een waterstofatoom.

Het elektron beweegt als deeltje op een cirkelbaan rond de atoomkern

STAP 2

Met het elektron is een staande golf verbonden met golflengte \(\lambda = \frac{h}{mv} \)

In een staande golf zijn er op vaste plaatsen punten die niet bewegen en daartussen punten die maximaal uitwijken.

De elektronengolf en het elektron als deeltje bewegen synchroon langs de cirkelbaan

Opdat beide gelijke tred zouden kunnen houden moet de elektronengolf een geheel aantal keer in de baan passen. Alleen dan kan de elektronengolf constructief met zichzelf interfereren.

Met \(\lambda = \frac{h}{mv} \) vinden we de voorwaarde voor de stationaire banen van Niels Bohr terug:

In het model van L. de Broglie is het elektron tegelijk een golf en een deeltje. Hiermee zet hij een flinke stap verder in de kwantumwereld dan N. Bohr. Zijn model verklaart de kwantum-voorwaarde van N. Bohr. Maar wie of wat verklaart het model?

Daar gaan onverwacht vlug antwoorden op komen!

Vooraleer we verder gaan maken we eerst even een korte tussenstop naar de klassieke fysica. Hoe doen ze daar dan die berekening? Wat is bijvoorbeeld de golfvergelijking voor een watergolf?

>> Interactieve golfsimulatie

In 1746 ontdekte Jean Le Rond d’Alembert, (1717 – 1783) de golfvergelijking waarmee hij de amplitude y van een golf kan berekenen op tijdstip t en plaats x:

De vergelijking is een differentiaalvergelijking. v is de snelheid van de golf \(\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\) en \(\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\) zijn de tweede afgeleiden van y naar t of x. Het zijn wiskundige uitdrukkingen waarmee je kan berekenen hoe vlug de verandering is van de amplitude y op tijdstip t of op positie x.

De oplossing van deze vergelijking is een golffunctie die laat zien hoe de amplitude van een golf met bepaalde golflengte λ en bepaalde frequentie f verandert als functie van positie x en tijd t.

A is een constante

De klassieke vergelijking die geldt voor geluidsgolven, watergolven en alle andere golven is niet van toepassing op elektronengolven. Wat voor rare golven zijn dat dan? Hoe berekenen we dan hun amplitude?

E.. Schrödinger voelt zich uitgedaagd en zet zich aan het werk. Hij trekt zich in de kerstvakantie van 1925 met zijn vriendin terug in een Zwitsers skioord.

Daar krijgt hij een geniale inval.

Hij vertrekt van de klassieke golfvergelijking en gaat trachten daarin de formules van L. de Broglie

 \(\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p}\)(het verband tussen golflengte en impuls) en van M. Planck E = hf (de energie van een kwantum van een lichtgolf) te integreren. Dat lukt met wat gewaagde maar wel aannemelijke aannames waar evenwel geen bewijs voor is. E. Schrödinger vertrouwt op zijn intuïtie.

En hij vindt de golfvergelijking voor een elektron (of een ander kwantumdeeltje) en de golffunctie die daarvan een oplossing is. Maar beide wijken toch wel erg af van wat de klassieke fysica leert. Om zijn rekenwerk te doen kloppen moet hij namelijk een getal invoeren waarvan de tweede macht -1 is. Zo’n getal noemen de wiskundigen een imaginair getal i. Maar hiermee komt in de reële wereld helemaal niets overeen.

Het rare is dat met de imaginaire golfvergelijking en met de imaginaire golffunctie die imaginaire waarden voor de amplitude Ψ (x, t) oplevert, toch correcte uitspraken over de reële wereld kunnen gedaan worden! Dat is een groot raadsel van de kwantumfysica waarover nog heel wat discussie zal gevoerd worden.

De Schrödingervergelijking van een elektron en de golffunctie die daarvan een oplossing is. \(\hbar = \frac{h}{2\pi} \)
m: massa elektron, V(x, t): potentiële energie, i = \(\sqrt{-1}\)

In januari 1926 kondigt E. Schrödinger in het tijdschrift Annalen der Physik aan dat hij de golfvergelijking voor elektronengolven gevonden heeft. Een huzarenstuk dat hem in de rij van de allergrootste fysici plaatst.

Maar er zit toch ook een donker randje aan. Hij heeft zijn golfvergelijking gevonden door te steunen op het postulaat van L. de Broglie waardoor ze zelf ook een postulaat wordt. En zijn plausibele maar onbewijsbare aannames zijn toch ook niet echt ok.

Later zal Werner Heisenberg ( 1901 – 1976) zelf hier zeer ongelukkig mee zijn. Hij schreef in een brief van 8 juni 1926 aan zijn vriend, de fysicus Wolfgang Pauli (1900 – 1958): “Hoe meer ik nadenk over het fysische deel van Schrödingers theorie, hoe meer ik ze afschuwelijk vind.” Hij kon het ‘kunst- en vliegwerk’ van E. Schrödinger niet waarderen.

Maar de Schrödingervergelijking levert toch mooi de correcte uitkomsten en is bovendien gemakkelijk toe te passen. Al heel snel spreekt heel de fysicagemeenschap over de Schrödingervergelijking. Ze wordt de grondslag van de kwantumfysica van toen af ook golfmechanica genoemd.

E. Schrödinger krijgt er in 1933 de Nobelprijs voor.

In de golffunctie voor geluids-, water- of andere ‘gewone ‘golven staat Ψ voor een meetbare grootheid. De hoogte van een watergolf bijvoorbeeld. Maar in de kwantumwereld klopt dat niet meer.

Wat betekent Ψ hier? Dat bleek een moeilijk probleem, dat nog altijd niet helemaal is opgelost.

Wat is er aan de hand?

In de Schrödingervergelijking komt een merkwaardig wiskundig symbool voor dat niet voor-komt in de ‘klassieke’ golfvergelijking: i.

i is een imaginair getal, de vierkantswortel uit -1.

Samen met de reële getallen a en b wordt het complex getal z = a+bi gevormd.

Het complex getal a + bi leidt tot een reëel getal door het met zijn complex toegevoegde (a + bi)* = a – bi te vermenigvuldigen:

Het probleem is nu dat met een imaginair of een complex getal in de reële wereld helemaal niets overeenkomt. Voor de ons vertrouwde golven zoals watergolven, geluidsgolven en seismische golven staat Ψ voor de intensiteit van golven. Maar in de kwantumwereld komt er een imaginair getal mee overeen.

Wat is dat nu weer? Een oplossing van een vergelijking die in die echte wereld niets betekent!

Nu kan men die imaginaire i met een wiskundig trucje wegwerken. Door de functie met de complex toegevoegde functie – hierin is i vervangen door -i – te vermenigvuldigen. In de klassieke fysica doet men dat soms ook om het rekenwerk te vergemakkelijken.

Maar niet in de kwantumwereld. Zonder i bekomt men verkeerde resultaten. En zelfs als men i zou wegwerken blijft het onduidelijk waar de golffunctie Ψ in de reële wereld dan voor staat. Is ze dan alleen maar nuttig om berekeningen mee te maken? Dat kan toch niet?

Voor Louis de Broglie (1892 – 1987) is een elektron tegelijkertijd een golf en een deeltje: het draait rondom een atoomkern en wordt hierbij geleid door de bijhorende elektronengolf met golflengte \(\lambda = \frac{h}{mv}\) . Het elektron en zijn ‘draaggolf’ bewegen synchroon rond de atoomkern.

Voor E. Schrödinger is een elektron enkel een golf. Hij ziet het elektron als een rond de atoomkern uitgesmeerde ladingsgolf met op verschillende plaatsen een andere dichtheid. Ook deze voorstelling bleek niet te kloppen. Bij experimenten blijkt dat de lading van het elektron voor 100% in één punt geconcentreerd is.

Zowel L. de Broglie als E. Schrödinger volharden in het deeltje-golf denken. Zij het op een verschillende manier.

Dan komt de nieuwe lichting met o.a. W. Heisenberg, die afstapt van het idee dat men over het elektron kan spreken in termen van golf of deeltje. Het is de waarneming die bepaalt welke van de twee het is. Voor de waarneming kan de golffunctie alleen iets zeggen over de kans om een elektron op een bepaalde plaats aan te treffen.

Hierover ontstaat grote heibel tussen A. Einstein, E. Schrödinger en L. de Broglie aan de ene kant en fysici van de nieuwe lichting zoals W. Heisenberg en P. Dirac. Verzoening zal niet mogelijk zijn zoals op de Solvayraad van 1927 duidelijk zal worden.

Niels Bohr (1885 – 1962), leermeester van W. Heisenberg, zal een interpretatie uitwerken die nu, bijna honderd jaar later, nog altijd dominant is. Het is de Kopenhagen – interpretatie. A. Einstein zal echter tot aan zijn dood in 1954 daar ongelukkig over blijven.