“In de kwantummechanica zijn onmiddellijke verbindingen tussen ver uit elkaar gelegen plaatsen mogelijk.”

We gaan een gedachte-experiment bedenken waarmee we de stelling van John Bell kunnen bewijzen. De stelling van J. Bell is dat met een experiment kan beslist worden of onmiddellijke beïnvloeding mogelijk (non-lokaliteit) is en of deeltjes hun eigenschappen krijgen op het moment van de meting.

We vertrekken van een verstrengelde toestand: een elektronenpaar waarvan de totale spin nul is, wat betekent dat metingen van hun spins langs een willekeurige as altijd tegengestelde resultaten zullen opleveren. Het is echter volgens de kwantummechanica niet mogelijk de spin langs verschillende assen tegelijk te meten.

Stel verder dat deze verstrengelde elektronen van elkaar worden gescheiden naar verre laboratoria, en dat teams van wetenschappers in deze laboratoria de magneten van hun detectoren in elke gewenste richting kunnen draaien bij het uitvoeren van spinmetingen.

Wanneer beide teams langs dezelfde as meten, verkrijgen ze 100% van de tijd tegengestelde resultaten. De totale spin moet immers nul zijn. Maar is dit een bewijs voor non-lokaliteit?

Niet per se volgens A. Einstein. Elk elektronenpaar zou een set ‘verborgen variabelen’ kunnen hebben die de spins van de deeltjes langs alle assen tegelijk specificeren. Deze verborgen variabelen ontbreken wel in de kwantumbeschrijving van de verstrengelde toestand, maar volgens A. Einstein vertelt de kwantummechanica mogelijk niet het hele verhaal. Een meting van één elektron heeft geen invloed op het andere, maar geeft alleen de reeds bestaande waarde van een verborgen variabele weer.

J. Bell bewijst nu dat je theorieën over lokale verborgen variabelen kunt uitsluiten door de spins van verstrengelde deeltjes langs verschillende assen te meten.

Stel dat een team wetenschappers in LAB 1 zijn detector toevallig 180 graden draait ten opzichte van die van het andere lab in LAB 2. Dit staat gelijk aan het verwisselen van de noord- en de zuidpool, waardoor een ‘omhoog’-resultaat voor het ene elektron nooit gepaard gaat met een ‘omlaag’-resultaat voor het andere in hetzelfde lab.

De wetenschappers zouden er ook voor kunnen kiezen om de detector over een andere hoek, bijvoorbeeld 60 van graden te draaien. Afhankelijk van de hoek tussen de oriëntatie van de magneten in beide labs varieert de kans op tegengestelde resultaten tussen 0% en 100%.

Veronderstel dat beide teams het eens zijn over een set van drie mogelijke meetassen, die we A, B en C zullen noemen. Voor elk elektronenpaar meet elk lab de spin van één van de elektronen langs één van deze drie willekeurig gekozen assen.

Laten we nu aannemen dat de wereld beschreven wordt door een theorie van lokale verborgen variabelen, in plaats van door de kwantummechanica. In dat geval heeft elk elektron al vooraf zijn eigen spinwaarde in elk van de drie richtingen.

Dat leidt tot acht mogelijke sets waarden voor de verborgen variabelen, die we op de volgende manier kunnen labelen:

De reeks spinwaarden met het label 5 betekenen bijvoorbeeld dat het resultaat van een meting langs as A in het eerste laboratorium ‘omhoog’ zal zijn, terwijl metingen langs as B en C ‘omlaag’ zullen zijn; de spinwaarden van het tweede elektron in het andere lab zullen tegengesteld zijn.

Voor elk elektronenpaar met spinwaarden van 1 en 8 leveren de metingen in beide labs altijd tegengestelde resultaten op, ongeacht langs welke assen de wetenschappers meten.

Zes sets (2-6) leveren allemaal tegengestelde resultaten op in 33% van de metingen langs verschillende assen. Voor de spinwaarden van set 5 bijvoorbeeld, zullen de labs tegengestelde resultaten verkrijgen wanneer de ene langs as B meet en de andere langs as C. Dit vertegenwoordigt een derde van de mogelijke keuzes.

De labs zullen dus tegengestelde resultaten verkrijgen wanneer ze in ten minste 33% van de gevallen langs verschillende assen meten; en in maximaal 67% van de gevallen zullen ze hetzelfde resultaat verkrijgen.

Dit resultaat stelt een bovengrens en een ondergrens voor theorieën over lokale verborgen variabelen: tegengestelde resultaten in 33% of meer van de metingen; hetzelfde resultaat in niet meer dan 67% van de metingen. Een hogere correlatie is tegenstrijdig met de theorie van de lokale variabelen. Dit zijn de ongelijkheden die de kern vormen van de stelling van J. Bell.

In andere experimentele settings kunnen de minimum en maximumwaarden verschillen maar het feit dat er een meetbaar onderscheid bestaat tussen de theorie van de verborgen variabelen en eentje er zonder blijft bestaan.

En hoe zit het met de kwantummechanica? De vergelijkingen van de kwantumtheorie geven een formule voor de waarschijnlijkheden van combinatie van de elektronenspins in beide labs als functie van de hoeken tussen de meetassen.

Volgens kwantummechanische berekeningen zullen beide labs, wanneer de drie assen zo ver mogelijk uit elkaar staan – dat wil zeggen, allemaal 120 graden uit elkaar, zoals in het Mercedes-logo – in 75% van de gevallen hetzelfde resultaat behalen. Dit overschrijdt de bovengrens van J. Bell van 67%.  Er zijn geen verborgen variabelen.

Lokaliteit geldt als de meting aan één deeltje niet direct de uitkomst van een andere meting ver weg kan beïnvloeden en dan kunnen de resultaten in een bepaalde experimentele opstelling niet meer dan 67% gecorreleerd zijn.

Als daarentegen de lotgevallen van verstrengelde deeltjes onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn, zelfs over grote afstanden, zoals in de kwantumwereld, zullen de resultaten van bepaalde metingen sterkere correlaties vertonen.

Sinds de jaren zeventig hebben natuurkundigen de stelling van J. Bell steeds nauwkeuriger experimenteel getest. Elk daarvan heeft de sterkere correlaties van de kwantummechanica bevestigd. Natuurkundigen blijven worstelen met de implicaties van de stelling van J. Bell, maar de algemene conclusie is dat lokaliteit – die lang gekoesterde aanname over de natuurwet – geen kenmerk is van onze wereld.

“De kwantumrevolutie die nu plaatsvindt, en al deze kwantumtechnologieën, die zijn voor 100% te danken aan de stelling van Bell”, zegt Krister Shalm, een kwantumfysicus bij het National Institute of Standards and Technology en University of Colorado, Boulder.