Werner Heisenberg – Energieniveaus en golffuncties voor de kwantumoscillator

Energieniveaus en golffuncties voor de kwantumoscillator

Hieronder zie je het verloop van de waarschijnlijkheden Ψ² om de kwantum oscillator ergens langs te x-as te vinden voor n = 0, 1, 2 en 3.

Merk op dat er een kans is om de oscillator buiten de “potentiaalput” (stippellijnen) te vinden. Dit is onmogelijk voor een klassieke oscillator.

De kans om de oscillator op de plaats x = 0 te vinden gaat door een minimum voor n =1, 3, … (oneven n) en door een maximum voor even n-waarden (0, 2, …).

In de klassieke oscillator gaat de waarschijnlijkheid altijd door een minimum voor x = 0 (volle lijn).

We tonen nu in grote lijnen hoe deze conclusies uit de Schrödingervergelijking kunnen afgeleid worden:

Schrödingervergelijking

-\frac{\hbar}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\Psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + V(x)\Psi(x) = E\Psi(x)

Potentiële energie V(x) van een harmonische oscillator

V(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Schrödingervergelijking voor de harmonische oscillator

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\Psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\Psi(x) = E\Psi(x)

Algemene oplossing van de Schrödingervergelijking

\Psi(x) = C e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}, \quad C \text{ en } \alpha \text{ zijn constanten}

Invoering van deze algemene oplossing voor Ψ(x) in de Schrödingervergelijking van de harmonische oscillator laat toe de mogelijke waarden van de constanten te berekenen.

Schrödingervergelijking voor de grondtoestand (n = 0)

\Psi_0 = \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{\alpha x^2}{2}} \quad \text{met} \quad \alpha = \frac{m\omega}{\hbar} \text{ en } \omega = 2\pi f

Hier komt wel wat complexere wiskunde en verband met differentiaalvergelijkingen bij kijken.

Energie in de grondtoestand

E_0 = \frac{\hbar\omega}{2}

Energie in aangeslagen toestand

E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \frac{\hbar\omega}{2}

De algemene oplossing van de Schrödingervergelijking vaar de kwantum oscillator ziet er zo uit:

\Psi_n(y) = \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n(y) e^{-\frac{y^2}{2}}

\alpha = \frac{m\omega}{\hbar} \qquad y = \sqrt{\alpha} x

H_n(y) is de Hermitische veelterm die er voor zorgt dat de berekening van fysische grootheden zoals plaats, impuls of energie reële waarden oplevert.

Kwantumhuis

Het Kwantumhuis is een project op basis van onderzoek en redactiewerk van Henri Eisendrath en Gaston Moens.
Eindredactie & films Fonk vzw.

Tot stand gekomen dankzij de onontbeerlijke steun van Fonds Kristel Van Ouytsel, onze hoofdsponsor.