Erwin Schrödinger – Complexe getallen in de fysica

Complexe getallen in de fysica

In de kwantumwereld spelen complexe getallen een fundamentele rol. In haast alle belangrijke vergelijkingen van de kwantummechanica komt i voor.

In de klassieke fysica is dat voor geen enkele vergelijking het geval. De wiskundige vergelijkingen zijn daar direct met de fysische werkelijkheid te verbinden. Complexe getallen kunnen wel zorgen voor een vereenvoudiging van de berekeningen. Maar ze zijn niet onmisbaar.

In de kwantummechanica is dat wel het geval.

In het begin had Erwin Schrödinger (1887 – 1967) er zelf grote problemen mee. Eerst liet hij het imaginaire deel van de golffunctie gewoon weg en zocht naar een interpretatie van het reële deel. Pas een goed jaar later, in 1928, kwam hij tot het besef dat de golffunctie complex moet zijn. Hij moest het verband met de werkelijkheid leggen via een omweg: Ψ krijgt betekenis na vermenigvuldiging met haar complex toegevoegde Ψ*: ΨΨ*. En dit levert een reëel getal op. Maar wat betekent dat getal precies? De discussie over de betekenis van ΨΨ* kan beginnen!

We verduidelijken het met het voorbeeld van een vrij bewegend kwantumdeeltje in één dimensie. De golffunctie van dit deeltje is is Ψ(x,t) = A e^{i(kx – ωt)}

Met de formule van de Zwitserse wiskundige Leonard Euler (1707 – 1783) e^iθ = cosθ + isinθ scheidt men het reële en het imaginaire deel van Ψ(x, t):

Ψ(x,t) = A[cos(kx – ωt) + isin(kx – ωt)]

Het reële deel van de complexe amplitude Ψ is blauw en het imaginaire deel is groen. Ze hebben geen fysisch interpreteerbare betekenis.

De band met de werkelijkheid wordt gegeven door ΨΨ*, een reële functie die voor elke waarde van x en t een bepaalde waarde heeft (geel). Bepaalde waarde waarvan? Dat is voor de volgende zaal.

Geen kwantummechanica zonder complexe getallen. Dat blijkt al direct uit de fundamentele vergelijkingen van de drie hoofdrolspelers.

i is het getal van de kwantumwereld. Het staat symbool voor de vreemdheid ervan. Het is allesbehalve imaginair maar even reëel als onze vertrouwde dagelijkse wereld!

i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi + V\psi

pq – qp = \frac{h}{2\pi i}

\left(\beta mc^2 + \sum_{k=1}^{3}\alpha_k p_k c\right)\psi(\mathbf{x},t) = i\hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{x},t)}{\partial t}

Het imaginaire getal i in de fundamentele vergelijkingen van E. Schrödinger, W. Heisenberg en P. Dirac.

Over complexe getallen (1u32, Engels)

Kwantumhuis

Het Kwantumhuis is een project op basis van onderzoek en redactiewerk van Henri Eisendrath en Gaston Moens.
Eindredactie & films Fonk vzw.

Tot stand gekomen dankzij de onontbeerlijke steun van Fonds Kristel Van Ouytsel, onze hoofdsponsor.